Question

已知圓C₁：（x-1）²+（y-1）²=2與圓C₂關于直線l：y=x+m對稱．
（1）若直線l截圓C₁所得弦長為2，求實數m的值；
（2）若m=4，P為直線l上一動點，過P作圓C₂的兩條切線，切點分別為A，B，求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）若直線l截圓C₁所得弦長為2，則圓心C₁到直線l的距離d=1，即可求實數m的值；
（2）求出圓心C₂到直線l的距離d′，可得|PA|的范圍，計算出cos∠APB，可得

PA

•

PB

，換元，利用基本不等式，即可求出

PA

•

PB

的取值范圍．

解答： 解：（1）圓C₁：（x-1）²+（y-1）²=2的半徑為

2

．
∵直線l截圓C₁所得弦長為2，
∴圓心C₁到直線l的距離d=1，
∴

|1-1+m|

2

=1，
∴m=±

2

；
（2）m=4時，直線l：x-y+4=0，故圓心C₁關于的對稱點圓心C₂（-3，5），
∴圓C₂：（x+3）²+（y-5）²=2，
∴圓心C₂到直線l的距離d′=

|3-5+4|

2

=2

2

．
設|PA|=a，則a=

|PC2|2-2

≥

d′2-2

≥

6

，cos∠APC₂=

|PA|

|PC2|

=

a

a2+2

，
∴cos∠APB=cos2∠APC₂=

a2-2

a2+2

，
∴

PA

•

PB

=a²cos∠APB=

a2(a2-2)

a2+2

，
令t=a²+2≥8，則

PA

•

PB

=t+

8

t

-6≥3，
∴

PA

•

PB

的取值范圍是[3，+∞）．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．