Question

5．如圖，扇形OAB的半徑為1，圓心角為120°，四邊形PQRS是扇形的內接矩形，當其面積最大時，求點P的位置，并求此最大面積．

Answer 1

分析 根據題意，設SP中點為C，PQ中點為D，∠COP=θ，表示出四邊形SPRS的面積，
再利用三角恒等變換求出它的最大值即可．

解答 解：設SP中點為C，PQ中點為D，如圖所示；
設∠COP=θ，則CP=1×sinθ=sinθ，
CO=cosθ，
DQ=CP=sinθ，
又∠DOQ=$\frac{π}{3}$，
∴OD=$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，
∴CD=OC-OD=cosθ-$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，
∴S_{四邊形PQRS}=CD×SP
=（cosθ-$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$）•2sinθ
=sin2θ-$\frac{{2sin}^{2}θ}{\sqrt{3}}$
=sinθ-$\frac{1-cos2θ}{\sqrt{3}}$
=sin2θ+$\frac{1}{\sqrt{3}}$cos2θ-$\frac{1}{\sqrt{3}}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當θ=$\frac{π}{6}$時，四邊形SPQR取得最大值為
S_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
此時點P在弧AB的四等分點處．

點評 本題考查了三角恒等變換以及三角函數的應用問題，是綜合性題目．