Question

若函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有六個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：令t=x²-1，則t≥-1，此時y=f（x）=|t|²-2|t|-1，若y=|t|²-2|t|-1有根為-1，則函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a會有一個交點，若y=|t|²-2|t|-1有根大于-1，則函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a會有兩個交點，進而結合圖象，數(shù)形結合，分類討論，可得答案．

解答： 解：令t=x²-1，則t≥-1，
此時y=f（x）=|t|²-2|t|-1，
其圖象如下圖所示：

由圖可知：
當a=-2時，若y=|t|²-2|t|-1=a，則t=-1，或t=1，此時f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有三個根，即函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有3個交點，
當-2＜a＜-1時，若y=|t|²-2|t|-1=a，有三個大于-1的t值，此時f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有6個根，即函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有6個交點，
當a=-1時，若y=|t|²-2|t|-1=a，則有兩個大于-1的t值，此時f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有4個根，即函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有4個交點，
當a＞-1時，若y=|t|²-2|t|-1=a，則有一個大于-1的t值，此時f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有2個根，即函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有2個交點，
綜上所述，函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有六個交點，a的取值范圍為（-2，-1）

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)圖象的對折變換，二次函數(shù)的圖象和性質，數(shù)形結合思想，分類討論思想，是函數(shù)圖象和性質及重要解題思想的綜合應用，難度較大．