Question

若函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有六個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=x²-1，則t≥-1，此時(shí)y=f（x）=|t|²-2|t|-1，若y=|t|²-2|t|-1有根為-1，則函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a會(huì)有一個(gè)交點(diǎn)，若y=|t|²-2|t|-1有根大于-1，則函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合圖象，數(shù)形結(jié)合，分類討論，可得答案．

解答： 解：令t=x²-1，則t≥-1，
此時(shí)y=f（x）=|t|²-2|t|-1，
其圖象如下圖所示：

由圖可知：
當(dāng)a=-2時(shí)，若y=|t|²-2|t|-1=a，則t=-1，或t=1，此時(shí)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有三個(gè)根，即函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有3個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)-2＜a＜-1時(shí)，若y=|t|²-2|t|-1=a，有三個(gè)大于-1的t值，此時(shí)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有6個(gè)根，即函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有6個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)a=-1時(shí)，若y=|t|²-2|t|-1=a，則有兩個(gè)大于-1的t值，此時(shí)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有4個(gè)根，即函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有4個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)a＞-1時(shí)，若y=|t|²-2|t|-1=a，則有一個(gè)大于-1的t值，此時(shí)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1=a有2個(gè)根，即函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有2個(gè)交點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù)f（x）=|x²-1|²-2|x²-1|-1的圖象與直線y=a有六個(gè)交點(diǎn)，a的取值范圍為（-2，-1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)圖象的對(duì)折變換，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，是函數(shù)圖象和性質(zhì)及重要解題思想的綜合應(yīng)用，難度較大．