Question

設f（x）=

(x+a)lnx

x+1

，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求得函數(shù)f（x）的導函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，即可求a的值；
（Ⅱ）先將原來的恒成立問題轉(zhuǎn)化為lnx≤m（x-

1

x

）．設g（x）=lnx-m（x-

1

x

），即x＞1時，g（x）≤0恒成立，利用導數(shù)研究g（x）在（1，+∞）上單調(diào)性，求出函數(shù)g（x）的范圍，即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

(x+a)lnx

x+1

的導數(shù)為f′（x）=

[lnx+ x+a x )(x+1)-(x+a)lnx

(x+1)2

則在點（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=

2(1+a)

4

，
由于在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，
則f′（1）=

1

2

，即

1+a

2

=

1

2

，
故a=0；
（Ⅱ）由于f（x）=

xlnx

x+1

，
當x=1時，f（1）=0，m（x-1）=0不等式f（x）≤m（x-1）成立，
當x＞1時，f（x）≤m（x-1）即為lnx≤m（x-

1

x

）．
設g（x）=lnx-m（x-

1

x

），即x＞1時，g（x）≤0恒成立，
g′（x）=

1

x

-m（1+

1

x2

）=

-mx2+x-m

x2

①若m≤0時，g′（x）＞0，則g（x）在x＞1上遞增，即有g（x）＞0，矛盾；
②若m＞0，-mx²+x-m=0的判別式△=1-4m²，
當△≤0時，即m≥

1

2

，g′（x）≤0，即g（x）在x＞1上遞減，g（x）＜g（1）=0成立，
當△＞0時，即0＜m＜

1

2

時，方程-mx²+x-m=0的根x₁=

1- 1-4m2

2m

＜1，x₂=

1+ 1-4m2

2m

＞1．
當1＜x＜x₂時，g′（x）＞0，g（x）在x＞1上遞增，g（x）＞g（1）=0矛盾．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是：[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為構造函數(shù)應用導數(shù)，判斷單調(diào)性解決，屬于中檔題．