Question

下列有四種說法
①若復(fù)數(shù)z滿足方程z²+2=0，則z³=-2

2

i；
②線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線y=bx+a一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）中的一個(gè)點(diǎn)；
③若（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），則

a1

2

+

a2

22

+…+

a2012

22012

=-1；
④用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時(shí)，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個(gè)因式是2（2k+1）．
其中正確的是（　�。�

• A、①②
• B、③
• C、③④
• D、④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,線性回歸方程,二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：閱讀型,數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù),二項(xiàng)式定理

分析：①可先求出z，注意兩解，然后計(jì)算z³；②由線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線的特點(diǎn)，即可判斷；③可通過賦值法，分別令x=0，x=

1

2

，即可判斷；④分別寫出n=k，n=k+1的等式，對(duì)照比較左邊即可判斷④．

解答： 解：①若復(fù)數(shù)z滿足方程z²+2=0，則z=±

2

i，z³=±2

2

i，故①錯(cuò)；
②線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線y=bx+a是由最小二乘法計(jì)算出來的，它不一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，
一定經(jīng)過點(diǎn)（

.

x

，

.

y

），故②錯(cuò)；
③由于（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），可令x=

1

2

，則0=a₀+

a1

2

+

a2

22

+…+

a2012

22012

，
再令x=0，則a₀=1，故

a1

2

+

a2

22

+…+

a2012

22012

=-1，故③正確；
④用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時(shí)，
當(dāng)n=k時(shí)，為（k+1）（k+2）…（k+k）=2^k•1•3…（2k-1），
當(dāng)n=k+1時(shí)，應(yīng)為（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2）=2^k+1•1•3…（2k+1），
對(duì)照比較左邊，左邊需增添的一個(gè)因式是2（2k+1），故④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，線性回歸方程對(duì)應(yīng)直線的特點(diǎn)，解決二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和問題常采用的賦值法，以及數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，是一道基礎(chǔ)題．