Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}，a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2）
（I）求證數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數(shù)列；
（II）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）若b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$，求證數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列．

Answer 1

分析 （I）a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，即可證明{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數(shù)列．
（II）由（I）可得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，a_n=n•2ⁿ．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．
（III）b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{n•{2}^{n}}$＞0，作商可得$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{2{n}^{2}+n}{2（2{n}^{2}+n-1）}$，再作差即可得出．

解答 （I）證明：∵a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
（II）解：由（I）可得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，∴a_n=n•2ⁿ．
∴S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（III）證明：b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{n•{2}^{n}}$＞0，b_n+1=$\frac{2n+1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$．
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{（2n+1）n}{（2n-1）（n+1）×2}$=$\frac{2{n}^{2}+n}{2（2{n}^{2}+n-1）}$．
又2（2n²+n-1）-（2n²+n）=2n²+n-2＞0．
∴2（2n²+n-1）＞2n²+n＞0．
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$＜1，可得b_n+1＜b_n．
∴數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”、作差方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．