Question

（10分）已知命題p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的兩個實根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|對任意實數(shù)m∈[﹣1，1]恒成立；命題q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命題p是真命題，命題q是假命題，求a的取值范圍．

 

Answer 1

a≤﹣1．

【解析】

試題分析：本題考查的知識點是命題的真假判定，由命題p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的兩個實根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|對任意實數(shù)m∈[﹣1，1]恒成立，我們易求出P是真命題時，a的取值范圍；由命題q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，我們也易求出q為假命題時的a的取值范圍，再由命題p是真命題，命題q是假命題，求出兩個范圍的公共部分，即得答案．

【解析】
∵x1，x2是方程x2﹣mx﹣2=0的兩個實根

∴

∴|x1﹣x2|=

=

∴當(dāng)m∈[﹣1，1]時，|x1﹣x2|max=3，

由不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|對任意實數(shù)m∈[﹣1，1]恒成立．

可得：a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1，

∴命題p為真命題時a≥6或a≤﹣1，

命題q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．

①當(dāng)a＞0時，顯然有解．

②當(dāng)a=0時，2x﹣1＞0有解

③當(dāng)a＜0時，∵ax2+2x﹣1＞0有解，

∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，

從而命題q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解時a＞﹣1．

又命題q是假命題，

∴a≤﹣1，

故命題p是真命題且命題q是假命題時，

a的取值范圍為a≤﹣1．