Question

3．如圖，點(diǎn)A，B分別是橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)，圓B：（x-2）²+y²=9，經(jīng)過橢圓E的左焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過A作直線l與y軸交于點(diǎn)Q，與橢圓E交于點(diǎn)P（異于A）．求$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過圓B的圓心坐標(biāo)可得a=2，在圓B方程中令y=0得c=1，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）①當(dāng)直線l為x軸時(shí)，顯然有$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{BP}$=0；②設(shè)直線AP：x=ty-2，并與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得y_P=$\frac{12t}{4+3{t}^{2}}$，x_P=$\frac{6{t}^{2}-8}{4+3{t}^{2}}$，通過向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵以橢圓E的右頂點(diǎn)B為圓心的圓B方程為：（x-2）²+y²=9，
∴圓B的圓心坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即為a的值，∴a=2，
在圓B：（x-2）²+y²=9中令y=0，得F（-1，0），
∴b²=4-1=3，
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）①當(dāng)直線l為x軸時(shí)，顯然有$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{BP}$=0；
②設(shè)直線AP：x=ty-2，并與橢圓E的方程聯(lián)立，
消去x可得：（4+3t²）y²-12ty=0，
由橢圓E的方程可知：A（-2，0），
由韋達(dá)定理可得：y_P=$\frac{12t}{4+3{t}^{2}}$，x_P=$\frac{6{t}^{2}-8}{4+3{t}^{2}}$，
在直線AP：x=ty-2中令x=0，得：y_Q=$\frac{2}{t}$，
∴$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{BP}$=（1，$\frac{2}{t}$）•（$\frac{6{t}^{2}-8}{4+3{t}^{2}}$-2，$\frac{12t}{4+3{t}^{2}}$）=$\frac{8}{4+3{t}^{2}}$∈（0，2）；
綜上所述，$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范圍為[0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、探索求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．