Question

9．已知定義在R上的函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}（{sinωx+acosωx}）（{a∈R\;，\;\;0＜ω≤1}）$
滿足：$f（x）=f（{\frac{π}{3}-x}）$，f（x-π）=f（x+π）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)不等的實數(shù)x₁，${x_2}∈（{-\frac{π}{3}\;，\;\;\frac{5π}{3}}）$，且$f（{x_1}）=f（{x_2}）=-\frac{1}{2}$，求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（x-π）=f（x+π），求出函數(shù)的周期，通過周期公式求出ω，通過f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x），令x=0，得到f（0）=f（$\frac{π}{3}$），求出a，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用f（x）的圖象的對稱性，及x₁，${x_2}∈（{-\frac{π}{3}\;，\;\;\frac{5π}{3}}）$，且$f（{x_1}）=f（{x_2}）=-\frac{1}{2}$，可知x₁、x₂關(guān)于直線x=$\frac{7π}{6}$對稱；

解答 解：由f（x-π）=f（x+π）知f（x）=f（x+2π），即函數(shù)f（x）的周期為2π．
又∵0＜ω≤1∴$\frac{2π}{ω}$≤2π，ω=1．
又∵f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x），∴f（0）=f（$\frac{π}{3}$）⇒$\frac{1}{2}（sin0+acos0）=\frac{1}{2}（sin\frac{π}{3}+acos\frac{π}{3}）$，
解得a=$\sqrt{3}$，∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）
可知f（x）的圖象關(guān)于直線x=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）對稱，
∵x₁，${x_2}∈（{-\frac{π}{3}\;，\;\;\frac{5π}{3}}）$，且$f（{x_1}）=f（{x_2}）=-\frac{1}{2}$，可知x₁、x₂關(guān)于直線x=$\frac{7π}{6}$對稱．
x₁+x₂=$\frac{7π}{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡，解析式的求法，以及函數(shù)的對稱性，方程的根的知識，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于中檔題．．