Question

如圖所示，在兩個底面對應(yīng)邊的比是1：2的三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，BB₁∥截面A₁EDC₁，求截面A₁EDC₁截棱臺ABC-A₁B₁C₁成兩部分體積之比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)三棱臺的上、下底面的面積分別為S₁和S₂，高為h．由已知求出V三棱臺ABC-A1B1C1=

7S1h

3

．推導(dǎo)出△A₁B₁C₁≌△BDE．多面體BDE-B₁C₁A₁是棱柱，且S△A1B1C=S_△BDE=S₁．三棱臺被截面A₁EDC₁截得的另一部分的體積等于

7

3

S1h-S1h=

4

3

S1h．由此能求出截面A₁EDC₁截三棱臺成兩部分的體積之比．

解答： 解：設(shè)三棱臺的上、下底面的面積分別為S₁和S₂，高為h．
∵

A1B1

AB

=

1

2

，∴

S1

S2

=

1

4

，∴S₂=4S₁．
∴V三棱臺ABC-A1B1C1=

h

3

(S1+

S1S2

+S2)
=

h

3

(S1+

4S12

+4S1)=

7S1h

3

．
∵BB₁∥截面A₁EDC₁，BB₁?側(cè)面BCC₁B₁，且側(cè)面BCC₁B₁與截面交于C₁D，
∴BB₁∥C₁D．同理可證BB₁∥A₁E，∴C₁D∥A₁E．
∵兩底面互相平行，∴A₁C₁∥DE．
∴截面A₁EDC₁是平行四邊形，∴A₁C₁=DE．
同樣可以證明B₁C₁=BD，A₁B₁=BE，
即△A₁B₁C₁≌△BDE．
∴多面體BDE-B₁C₁A₁是棱柱，且S△A1B1C=S_△BDE=S₁．
∵三棱柱BDE-B₁C₁A₁的高等于三棱臺ABC-A₁B₁C₁的高，等于h．
∴VBDE-B1C1A1=S₁h．
∴三棱臺被截面A₁EDC₁截得的另一部分的體積等于

7

3

S1h-S1h=

4

3

S1h．
∴截面A₁EDC₁截三棱臺成兩部分的體積之比為4：3．

點評：本題以棱臺為載體，討論直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，其關(guān)鍵是證明多面體BDE-B₁C₁A₁為棱柱．