Question

19．已知△ABC的面積為S，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若4S+a²=b²+c²，則sinC-cos（B+$\frac{π}{4}$）取最大值時(shí)C=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面積公式及其余弦定理可得：2bcsinA=2bccosA，化簡即可得出tanA=1，結(jié)合A的范圍可求A的值，從而可得sinC-cos（B+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$），結(jié)合C+$\frac{π}{4}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：∵4S+a²=b²+c²，可得：4S=b²+c²-a²，
∴4×$\frac{1}{2}$bcsinA=2bccosA，
∴可得：tanA=1，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{4}$．
∴sinC-cos（B+$\frac{π}{4}$）=sinC-cos（$\frac{3π}{4}$-C+$\frac{π}{4}$）=sinC+cosC=$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$），
∵C∈（0，$\frac{3π}{4}$），可得：C+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，π），
∴當(dāng)C+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{π}{4}$時(shí)，sinC-cos（B+$\frac{π}{4}$）取最大值．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．