【題目】已知函數(shù),若關(guān)于x的方程有四個(gè)不等實(shí)根,且恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為________.
【答案】
【解析】
函數(shù)是分段函數(shù),通過(guò)求導(dǎo)分析得到函數(shù)在上為增函數(shù),在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),求得函數(shù)在上,當(dāng)時(shí)有一個(gè)極大值1,所以要使方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根,的值一個(gè)要在內(nèi),一個(gè)在內(nèi),然后運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關(guān)系列式求解和的取值范圍,從而求出的最小值.
,
當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上為增函數(shù),
當(dāng)時(shí),,
由,得,當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),
當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),
所以函數(shù)的極大值為,
極小值為:,如圖:
令,由韋達(dá)定理得:,,
(1)因?yàn)楫?dāng),且時(shí),方程沒有實(shí)根,故舍去.
(2)又當(dāng),且(不妨設(shè)),由圖象可得至多有三個(gè)實(shí)根,
由此可得方程至多有三個(gè)實(shí)根,不符合題意.
(3)若是方程的根,代入可得,所以,解得,而根據(jù)圖象可知無(wú)解,和都只有一個(gè)根,不符合題意.
故要使方程有四個(gè)不等實(shí)數(shù)根,
則方程應(yīng)有兩個(gè)不相同的正實(shí)根,
即,且,此時(shí),且一個(gè)根在內(nèi),一個(gè)根在內(nèi),
再令,
因?yàn)?/span>,①
,
則,②
則只需,即,
所以,③
將③式平方可得:,④
由①②解得:,⑤
由④得到:,由④⑤得到:,
所以,
.
所以本題答案為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
如圖,已知平面QBC與直線PA均垂直于所在平面,且PA=AB=AC.
(Ⅰ)求證:PA∥平面QBC;
(Ⅱ)若,求二面角Q-PB-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市準(zhǔn)備實(shí)施天然氣價(jià)格階梯制,現(xiàn)提前調(diào)查市民對(duì)天然氣價(jià)格階梯制的態(tài)度,隨機(jī)抽查了名市民,現(xiàn)將調(diào)查情況整理成了被調(diào)查者的頻率分布直方圖(如圖)和贊成者的頻數(shù)表如下:
年齡(歲) | ||||||
贊成人數(shù) |
(1)若從年齡在,的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取人進(jìn)行調(diào)查,求所選取的人中至少有人對(duì)天然氣價(jià)格階梯制持贊成態(tài)度的概率;
(2)若從年齡在,的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取人進(jìn)行調(diào)查,記選取的人中對(duì)天然氣價(jià)格實(shí)施階梯制持不贊成態(tài)度的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次田徑比賽中,35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示。
若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1—35號(hào),再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取5人,則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為
A.6B.5C.4D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示:
(I)求的解析式及對(duì)稱中心坐標(biāo);
(Ⅱ)將的圖象向右平移個(gè)單位,再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,最后將圖象向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間及最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱錐P﹣ABC中,AC⊥BC,AC=BC=2,PA=PB=PC=3,O是AB中點(diǎn),E是PB中點(diǎn).
(1)證明:平面PAB⊥平面ABC;
(2)求點(diǎn)B到平面OEC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,.
(1)求角C;
(2)設(shè)D為邊AC上一點(diǎn),AD=BD,若BC=2,的面積為3,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,為了檢測(cè)兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況,隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本,檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi),則為合格品,否則為不合格品.表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖.
表1:甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標(biāo)值 | ||||||
頻數(shù) | 1 | 5 | 18 | 19 | 6 | 1 |
圖1:乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖
(1)根據(jù)表1和圖1,通過(guò)計(jì)算合格率對(duì)兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較;
(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān).
甲套設(shè)備 | 乙套設(shè)備 | 合計(jì) | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計(jì) |
附:
0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明:當(dāng)時(shí),.
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