Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】(1)在上單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；(2)；(3)證明見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）由題意可得切線斜率，也即，據(jù)此求得參數(shù)，再求的單調(diào)區(qū)間即可.

（2）若滿足題意，只需有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分離常數(shù)，整理可得只需直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)即可，數(shù)形結(jié)合即可求得.

（3）根據(jù)（1）中所求，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，即可證明.

（1），故可得

由題可得，代值可得，解得.

故，則，

令，解得，

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故，

即可得在上單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)減區(qū)間.

（2）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

也即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

即可理解為直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).

又，令，解得，

故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

故，

又當(dāng)時(shí)，，且趨于正無(wú)窮時(shí)，趨于0，

當(dāng)趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨于負(fù)無(wú)窮，

故在同一直角坐標(biāo)系中繪圖如下：

數(shù)形結(jié)合可知，要滿足題意，只需即可.

故的取值范圍為.

（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，又，

故可得，

要證不等式成立，

只需證當(dāng)時(shí)，即可.

也就是證當(dāng)時(shí)，即可.

又，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故可得，

即可得在上單調(diào)遞增，

故.

即證當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，成立，即證.