Question

6．設(shè)p：f（x）=e^x+lnx+2x²+mx+1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，q：m≥-5，則p是q的必要不充分條件．

Answer 1

分析 首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出m的范圍．結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：由題意得f′（x）=e^x+$\frac{1}{x}$+4x+m，
∵f（x）=e^x+lnx+2x²+mx+1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0，即e^x+$\frac{1}{x}$+4x+m≥0在定義域內(nèi)恒成立，
由于$\frac{1}{x}$+4x≥4，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{x}$=4x，即x=$\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立，
故對(duì)任意的x∈（0，+∞），必有e^x+$\frac{1}{x}$+4x＞5
∴m≥-e^x-$\frac{1}{x}$-4x不能得出m≥-5
但當(dāng)m≥-5時(shí)，必有e^x+$\frac{1}{x}$+4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分條件，p是q的必要條件，即p是q的必要不充分條件
故答案為：必要不充分

點(diǎn)評(píng) 本題考查充分條件和必要條件以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系．屬于函數(shù)恒成立問題，難度較大，綜合性強(qiáng)．