Question

【題目】已知點(diǎn)P1（a1 ， b1），P2（a2 ， b2），…，Pn（an ， bn）（n∈N*）都在函數(shù)y=的圖象上．
（Ⅰ）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=1﹣2﹣n ， 過點(diǎn)Pn ， Pn+1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為cn ， 求使cn≤t對(duì)n∈N*恒成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）依題意可知bn=an ，
∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，
∴2bn+1=bn+bn+2 ， 即2an+1=an+an+2=（anan+2）
∴a2n+1=anan+2
∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a1=，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（）n ， n=1也適合此式，
即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=（）n ． 由bn=an ， 得
數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn=n，
所以Pn（，n），Pn+1（，n+1）．
過這兩點(diǎn)的直線方程是：=
可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是An（，0），Bn（0，n+2），
cn=×|OAn|×|OBn|=，
由于cn﹣cn+1=﹣＞0，即數(shù)列{cn}的各項(xiàng)依次單調(diào)遞減，所以t≥c1=，即存在最小的實(shí)數(shù)t=滿足條件．
【解析】（1）把點(diǎn)Pn（an ， bn）代入函數(shù)式，根據(jù)數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，可求得a2n+1=anan+1進(jìn)而可證明數(shù)列an}為等比數(shù)列
（2）先看當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)an=Sn﹣Sn﹣1求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得當(dāng)n=1時(shí)也符合，求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入bn=an求得bn ， 進(jìn)而求得點(diǎn)Pn和Pn+1的坐標(biāo)進(jìn)而可得過這兩點(diǎn)的直線方程，進(jìn)而求得該直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求得cn ， 進(jìn)而可得cn﹣cn+1的表達(dá)式判斷其大于0，推斷出數(shù)列{cn}的各項(xiàng)依次單調(diào)遞減，要使cn≤t對(duì)n∈N+恒成立，需要t大于或等于數(shù)列的最大值c1 ， 進(jìn)而可推斷存在最小的實(shí)數(shù)滿足條件．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等比關(guān)系的確定和不等式的證明，掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等即可以解答此題．