Question

7．若點P是函數(shù)f（x）=x²-lnx上任意一點，則點P到直線x-y-2=0的最小距離為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由題意知，當(dāng)曲線上過點P的切線和直線x-y-2=0平行時，點P到直線x-y-2=0的距離最小，求出曲線對應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得且點的坐標(biāo)，此切點到直線x-y-2=0的距離即為所求．

解答 解：點P是曲線f（x）=x²-lnx上任意一點，
當(dāng)過點P的切線和直線x-y-2=0平行時，
點P到直線x-y-2=0的距離最�。�
直線x-y-2=0的斜率等于1，
由f（x）=x²-lnx，得f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=1，解得：x=1，或 x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故曲線f（x）=x²-lnx上和直線x-y-2=0平行的切線經(jīng)過的切點坐標(biāo)（1，1），
點（1，1）到直線x-y-2=0的距離等于$\sqrt{2}$，
故點P到直線x-y-2=0的最小距離為$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查點到直線的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．