Question

19．設(shè)滿足y≥|x-a|的點(diǎn)（x，y）的集合為A，滿足y≤-|x|+b的點(diǎn)（x，y）的集合為B，其中a、b是正數(shù)，且A∩B≠∅．
（1）寫出a，b之間有什么關(guān)系？
（2）求A∩B所表示的圖形的面積S．

Answer 1

分析 （1）在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y≥|x-a|、y≤-|x|+b所表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合可得使A∩B≠∅的a，b之間的關(guān)系；
（2）由（1）知，A∩B所表示的圖形為矩形ACBD，求出矩形面積即可．

解答 解：（1）不等式y(tǒng)≥|x-a|可化為$\left\{\begin{array}{l}{x-y-a≤0}\\{x≥a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+y-a≥0}\\{x＜a}\end{array}\right.$，畫出它所表示的平面區(qū)域如圖所示，
不等式y(tǒng)≤-|x|+b可化為$\left\{\begin{array}{l}{x-y-b≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-y+b≥0}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
將其表示的平面區(qū)域與A表示的平面區(qū)域畫在同一坐標(biāo)系中，
如圖所示，要使A∩B≠∅，只要b≥a；
（2）由（1）知，A∩B所表示的圖形為矩形ACBD，
BE=b-a，在Rt△BDE中，∠DBE=45°，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}（b-a）$，
又$AD=AE+DE=\sqrt{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}（b-a）=\frac{\sqrt{2}}{2}（b+a）$，
∴矩形面積S=$BD•AD=\frac{1}{2}（^{2}-{a}^{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，正確作出圖形是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．