Question

（本小題滿分12分）設(shè)某物體一天中的溫度是時間的函數(shù)：，其中溫度的單位是，時間單位是小時，表示12:00，取正值表示12:00以后．若測得該物體在8:00的溫度是，12:00的溫度為，13:00的溫度為，且已知該物體的溫度在8:00和16:00有相同的變化率．

（1）寫出該物體的溫度關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該物體在10:00到14:00這段時間中（包括10:00和14:00），何時溫度最高，并求出最高溫度；

（3）如果規(guī)定一個函數(shù)在區(qū)間上的平均值為，求該物體在8:00到16:00這段時間內(nèi)的平均溫度．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）11:00和14:00時，該物體的溫度最高，最高溫度為（3）在8:00到16:00這段時間的平均溫度為

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件，得，，，，

可以解得，

．                                               ……4分

（2），

當(dāng)時，；

當(dāng)時，．

在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即是極大值點．……8分

，

在10:00到14:00這段時間中，11:00和14:00時，該物體的溫度最高，最高溫度為．

（3）按規(guī)定，平均溫度為，

即該物體在8:00到16:00這段時間的平均溫度為．                        ……12分

考點：本小題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求最值和定積分的計算，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力和由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力以及求解計算能力.

點評：利用導(dǎo)數(shù)求解實際生活中的最值問題是高考常考考點，主要是函數(shù)模型的建立，對函數(shù)解析式的求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求最值等.問題背景雖然各不相同，但函數(shù)模型有限，要總結(jié)規(guī)律，找出共同的分析思路和一般的解決方法，做到思路清晰，解法成熟，胸有成竹.