Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，則a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由數(shù)列遞推式結(jié)合首項(xiàng)求出前5項(xiàng)，分析得到數(shù)列{a_n}的前兩項(xiàng)等于項(xiàng)數(shù)，從第三項(xiàng)起，項(xiàng)的分子與分子，分母與分母的差構(gòu)成等差數(shù)列，利用累加法分別求出分子和分母的通項(xiàng)，作比后得答案．

解答： 解：由a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，得
a2=

1

a1

+1=2，
a3=

1

a2

+1=

1

2

+1=

3

2

，
a4=

1

a3

+1=

2

3

+1=

5

3

，
a5=

1

a4

+1=

3

5

+1=

8

5

，
∴數(shù)列{a_n}的前兩項(xiàng)等于項(xiàng)數(shù)，從第三項(xiàng)起，
項(xiàng)的分子與分子，分母與分母的差構(gòu)成等差數(shù)列，
由累加法求得an=

n2-3n+6

n2-5n+10

(n≥3)．
∴a_n=

n(n=1，2) n2-3n+6 n2-5n+10 (n≥3)

．
故答案為：

n(n=1，2) n2-3n+6 n2-5n+10 (n≥3)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是對(duì)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，是中檔題．