Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+a，在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，則實數(shù)a=（　　）

• A、2
• B、-2
• C、3
• D、-3

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出端點的函數(shù)值f（-2）與f（2），比較f（2）與f（-2）的大小，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，在[-2，-1]上單調(diào)遞減，得到f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，建立等式關(guān)系求出a．

解答： 解：∵f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）．
∵f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，
∴f（2）＞f（-2）．
因為在（-1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，
又由于f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞減，
因此f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，
解得a=-2．
故選：B

點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．以及在閉區(qū)間上的最值問題等基礎(chǔ)知識，同時考查了分析與解決問題的綜合能力．