Question

13．已知g（x）=m-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，f（x）=g（x）+5．
（1）m為何值時，g（x）是奇函數(shù)；
（2）討論f（x）單調(diào)性；
（3）當g（x）是奇函數(shù)，求f（x）＞5的解．

Answer 1

分析 （1）若g（x）是奇函數(shù)，利用g（0）=0進行求解；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行討論
（3）當g（x）是奇函數(shù)，m=$\frac{1}{2}$，結合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）＞5的解．

解答 解：（1）若g（x）是奇函數(shù)，則g（0）=0，即g（0）=m-$\frac{1}{2}=0$；
則m=$\frac{1}{2}$．
（2）f（x）=g（x）+5=m-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+5，
∵y=2^x是增函數(shù)，
∴y=2^x+1也是增函數(shù)，且y=2^x+1＞1
則y=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$為減函數(shù)，y=-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$為增函數(shù)，
故f（x）=m-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+5為增函數(shù)；
（3）當g（x）是奇函數(shù)時，由（1）知m=$\frac{1}{2}$，
此時f（x）=g（x）+5=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+5，
由f（x）＞5得$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+5＞5，
即$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＞0．
即$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{{2}^{x}+1}$．
則2^x+1＜2，
即2^x＜1，
解得x＜0，
即不等式的解集為（-∞，0）．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．