Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log₂（a•2^x-

4

3

a），其中a＞0若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．由偶函數(shù)的定義，構(gòu)造一個關(guān)于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點(diǎn)，即方程log₂（4^x+1）-x=log₂（a•2^x-

4

3

a），在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解，利用換元法，分類討論，得到答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x）=log₂（4^x+1）+kx恒成立
即log₂（4^x+1）-2x-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立
解得k=-1
（2）∵a＞0
∴g（x）=log₂（a•2^x-

4

3

a），定義域?yàn)椋╨og₂

4

3

，+∞），
也就是滿足2^x＞

4

3

，
∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點(diǎn)，
∴方程log₂（4^x+1）-x=log₂（a•2^x-

4

3

a），在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解
即：方程

4x+1

2x

=a•2^x-

4

3

a，在（log₂

4

3

，+∞）上只有一解
令2^x=t則t＞

4

3

，因而等價(jià)于關(guān)于t的方程（a-1）t²-

4

3

at-1=0（*）在（

4

3

，+∞）上只有一解
①當(dāng)a=1時，解得t=-

3

4

∉（

4

3

，+∞），不合題意；
②當(dāng)0＜a＜1時，記h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，其圖象的對稱軸t=

2a

3(a-1)

＜0，
∴函數(shù)h（t）在（0，+∞）上遞減，而h（0）=-1，
∴方程（*）在（

4

3

，+∞）無解
③當(dāng)a＞1時，記h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，其圖象的對稱軸t=

2a

3(a-1)

＞0，
所以，只需h（

4

3

）＜0，即

16

9

（a-1）-

16

9

a-1＜0，此恒成立
∴此時a的范圍為a＞1
綜上所述，所求a的取值范圍為a＞1．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，偶函數(shù)，其中根據(jù)偶函數(shù)的定義求出k值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式，是解答的關(guān)鍵．