Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+3x}{1-3x}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）變形得出函數(shù)f（x）=$\frac{1+3x}{1-3x}$=$\frac{2}{1-3x}$-1，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷證明．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最大值，最小值即可得出值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1+3x}{1-3x}$=$\frac{2}{1-3x}$-1，
（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞），
設(shè)x₁，x₂∈（$\frac{1}{3}$，+∞），x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1-3{x}_{1}}$-1$-\frac{2}{1-3{x}_{2}}$+1=$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-3{x}_{1}）（1-3{x}_{2}）}$，
∵x₁，x₂∈（$\frac{1}{3}$，+∞），x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1-3x₁＜0，1-3x₂＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{3}$，+∞）單調(diào)遞增；
同理可得出：函數(shù)f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）單調(diào)遞增．
（2）∵x∈[1，3]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）_大=f（3）=$\frac{10}{-8}$=$\frac{5}{4}$，
f（x）_小=f（1）=$\frac{4}{-2}$=-2，
∴函數(shù)f（x）的值域：[-2，$\frac{5}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，運(yùn)用求解值域問題，屬于容易題，關(guān)鍵函數(shù)的變形．