Question

14．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，又sinα=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，則sinβ等于（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{24}{25}$
• C． $\frac{16}{25}$
• D． $\frac{24}{25}$或0

Answer 1

分析 由已知分別求出cosα、sin（α+β）的值，然后利用“拆角配角”的方法分類求出sinβ，則答案可求．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，sinα=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$．
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{3π}{2}$．
又cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（α+β）=±$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=±$\frac{3}{5}$．
若sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，則sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{24}{25}$；
若sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，則sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{4}{5}$-（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{3}{5}$=0（舍）．
∴sinβ=$\frac{24}{25}$．
故選：B．

點評 本題考查兩角和與差的正弦，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)鍵是“拆角配角”思想的應(yīng)用，是中檔題．