Question

（2012•海淀區(qū)二模）已知定點(diǎn)M（0，2），N（-2，0），直線l：kx-y-2k+2=0（k為常數(shù)）．若點(diǎn)M，N到直線l的距離相等，則實(shí)數(shù)k的值是

1或

1

3

；對(duì)于l上任意一點(diǎn)P，∠MPN恒為銳角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

(-∞，-

1

7

)∪(1，+∞)

．

Answer 1

分析：由點(diǎn)M（0，2），N（-2，0）到直線l：kx-y-2k+2=0的距離相等，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得k的值．
由題意可得，以MN為直徑的圓與直線l：kx-y-2k+2=0相離，故圓心H（-1，1）到直線l：kx-y-2k+2=0
的距離大于半徑，即

|-k-1-2k+2|

k2+1

＞

2

，由此解得k的范圍．

解答：解：由點(diǎn)M（0，2），N（-2，0）到直線l：kx-y-2k+2=0的距離相等可得

|0-2-2k+2|

k2+1

=

|-2k -0-2k+2|

k2+1

，解得 k=1，或 k=-

1

3

．
由于對(duì)于l上任意一點(diǎn)P，∠MPN恒為銳角，故以MN為直徑的圓與直線l：kx-y-2k+2=0相離．
而MN的中點(diǎn)，即圓心為H（-1，1），則點(diǎn)H到直線l：kx-y-2k+2=0的距離大于半徑

1

2

•MN=

2

，
即

|-k-1-2k+2|

k2+1

＞

2

，即 （1-3k）²＞2（1+k²），
解得 k＜-

1

7

，或 k＞1，
故答案為 1或

1

3

； (-∞，-

1

7

)∪(1，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，直線和圓的位置關(guān)系，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．