Question

已知f（x）=lnx+

a-x

x

，a為常數(shù)且a＞0，求當(dāng)f（x）在[1，2]區(qū)間的最小值為

1

2

時(shí)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f(x)≥

1

2

恒成立，x∈[1，2]?a≥(

3

2

x-xlnx)max，x∈[1，2]，a＞0．令g（x）=

3

2

x-xlnx，x∈[1，2]，a＞0．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：f(x)≥

1

2

恒成立，x∈[1，2]?a≥(

3

2

x-xlnx)max，x∈[1，2]，a＞0．
令g（x）=

3

2

x-xlnx，x∈[1，2]，a＞0．
則g′(x)=

3

2

-(lnx+1)=

1

2

-lnx，
令g′（x）＞0，解得1≤x＜

e

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；令g′（x）＜，解得

e

＜x≤2，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

e

時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值

3

2

e

-

1

2

e

=

e

．
∴a≥

e

．
∴當(dāng)f（x）在[1，2]區(qū)間的最小值為

1

2

時(shí)a=

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．