如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（1）求證：平面PAD與平面PAB垂直；
（2）求直線PC與直線AB所成角的余弦值．
考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角
專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）先證明BC⊥PB，BC⊥AB，進而證明BC⊥平面PAB；（2）確定直線PC與直線AB所成的角為∠PCD；在三角形中求解．
解答： 解：（1）證明：∵∠PBC=90°，
∴BC⊥PB，
∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，
∴BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB．
（2）∵AB∥CD，
∴∠PCD為直線PC與直線AB所成的角，
在直角三角形PAD中，
∵PA=AD=1，
∴PD=
2
，
在△PAB中，∵PA=1，AB=2，∠PAB=120°，
∴PB=
1+22-2•1•2•cos120°

=
1+4+2
=
7
；
在Rt△PAC中，PC=2
2
，
在△PCD中，cos∠PCD=
4+8-2
2×2×2
2
=
5
2
8

故直線PC與直線AB所成角的余弦值為
5
2
8
．
點評：考查了線面垂直的判定定理，同時考查了余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：（2+m）x+（1+2m）y+4-3m=0．
（1）求證：不論m為何實數(shù)，直線l恒過一定點M；
（2）過定點M作一條直線l1，使夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點平分，求直線l1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A為橢圓上一點，當(dāng)△AF1F2的面積最大時，△AF1F2為等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q，若x軸上存在一定點M（1，0），使得
PM
•
QM
=0，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1
3
x3-x2+bx在x=3處取得極值．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x-1-
lnx
x
．
（Ⅰ）令N（x）=x2-1+lnx，判斷N（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并求所有的零點；
（Ⅱ）求f（x）在定義域上的最小值；
（Ⅲ）求證：對任意n∈N*，n≥2，都有：
1
ln2
+
1
ln3
+
1
ln4
+…
1
lnn
＞1-
1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察等式：
sin30°+sin90°
cos30°+cos90°
=
3
，
sin15°+sin75°
cos15°+cos75°
=1，
sin20°+sin40°
cos20°+cos40°
=
3
3
．照此規(guī)律，對于一般的角α、β，有等式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)復(fù)數(shù)z=
1-2i
m-i
（m∈R）在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Z．
（1）若點Z位于直線y=3x上，求m的值；
（2）若點Z位于第一象限，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直三棱柱A1B1C1-ABC中如圖1，AC⊥BC，D為AB中點，CB=1，AC=
3
，異面直線C1D與A1B1所成角大小為arccos
1
4
．
（1）在圖2中畫出此三棱柱的左視圖和俯視圖；
（2）求三棱錐C1-CBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點（1，e）在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A、B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P．試用|AF1|，|BF2|表示|PF1|+|PF2|，并證明|PF1|+|PF2|是定值．

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同步練習(xí)冊答案