Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），點(diǎn)（1，e）在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A、B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF₁與直線BF₂平行，AF₂與BF₁交于點(diǎn)P．試用|AF₁|，|BF₂|表示|PF₁|+|PF₂|，并證明|PF₁|+|PF₂|是定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知c=1，由點(diǎn)（1，e）在橢圓上，得

1

a2

+

e2

b2

=1，求出b，即可求橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my，與橢圓方程聯(lián)立，求出|AF₁|、|BF₂|，利用直線AF₁與直線BF₂平行，點(diǎn)B在橢圓上知，可PF₁=

AF1

AF1+BF2

×（2

2

-BF₂），同理PF₂=

BF2

AF1+BF2

×（2

2

-AF₁），由此可求得PF₁+PF₂是定值．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)知c=1，由點(diǎn)（1，e）在橢圓上，得

1

a2

+

e2

b2

=1，∴b=1，a=

2

．
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）∵直線AF₁與直線BF₂平行，∴設(shè)AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由

x12 2 +y12=1 x1+1=my1

，可得（m²+2）y₁²-2my₁-1=0．
∴y₁=

m+ 2m2+2

m2+2

，
∴|AF₁|=

m2+1

×|0-y₁|=

2 (m2+1)+m m2+1

m2+2

①
同理|BF₂|=

2 (m2+1)-m m2+1

m2+2

②
∵直線AF₁與直線BF₂平行，∴

PB

PF1

=

BF2

AF1

，即PF₁=

AF1

AF1+BF2

×BF₁．
 由點(diǎn)B在橢圓上知，BF₁+BF₂=2

2

，∴PF₁=

AF1

AF1+BF2

×（2

2

-BF₂）．
 同理PF₂=

BF2

AF1+BF2

×（2

2

-AF₁）．
∴|PF₁|+|PF₂|=

AF1

AF1+BF2

×（2

2

-BF₂）+

BF2

AF1+BF2

×（2

2

-AF₁）=2

2

-

2AF1×BF2

AF1+BF2

．
 由①②得，|AF₁|+|BF₂|=

2 2 (m2+1)

m2+2

，|AF₁||BF₂|=

m2+1

m2+2

，
∴|PF₁|+|PF₂|=

3 2

2

．
∴PF₁+PF₂是定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．