Question

已知集合A⊆M={1，2，3，…，11}，把滿足以下條件：若2k∈A，則2k±1∈A，（k∈Z）的集合A稱為好集，則含有至少3個偶數的好集合的個數為（　　）

• A、34
• B、25
• C、18
• D、32

Answer 1

考點：計數原理的應用

專題：排列組合

分析：根據新定義分別討論含有3個偶數4個偶數和5個偶數時滿足集合的個數即可．

解答： 解：根據條件可知，若2∈A，則1，3∈A．若4∈A，則3，5∈A．若6∈A，則5，7∈A．若8∈A，則7，9∈A．若10∈A，則9，11∈A．
考慮將這11個數分組，分成：（1，2，3）、（3，4，5）、（5，6，7）、（7，8，9）、（9，10，11）共五組，且要是進入集合A的話，只能一組一起進．
則含有至少3個偶數可以分為3個偶數，4個人偶數，5個偶數三類，
第一類3個偶數，若為2，4，6時，集合必有1，3，5，7，另外兩個奇數9和11，可都有，可有一個，可都沒有共4種，
若為4，6，8時，集合必有3，5，7，9另外兩個奇數1和11，可都有，可有一個，可都沒有共4種，
若為6，8，10時，集合必有5，7，9，11另外兩個奇數1和3，可都有，可有一個，可都沒有共4種，
若為2，4，8時，集合必有1，3，5，7，9另外1個奇數11，可有，可沒有共2種，
若為2，4，10時，集合必有1，3，5，9，11另外1個奇數7，可有，可沒有共2種，
若為2，6，8時，集合必有1，3，5，7，9，另外1個奇數1，可有，可沒有共2種，
若為2，6，10時，集合必有1，3，5，7，11另外1個奇數9，可有，可沒有共2種，
若為2，8，10時，集合必有1，3，7，9，11另外1個奇數5，可有，可沒有共2種，
若為4，6，10時，集合必有3，5，7，9，11另外1個奇數1，可有，可沒有共2種，
若為4，8，10時，集合必有3，5，7，9，11另外1個奇數1，可有，可沒有共2種，
故共有4×3+2×7=26
第二類4個偶數，
若為2，4，6，8，集合必有1，3，5，7，9可能含有11也可能不含11，此時有2種．
若為2，4，6，10，集合則必有1，3，5，7，9，11．此時有1種．
若為2，4，8，10，集合則必有1，3，5，7，9，11，此時有1種．
若為2，6，8，10，集合則必有1，3，5，7，9，11，此時有1種．
若為4，6，8，10，集合則必有3，5，7，9，11．可能含有1也可能不含1，此時有2種．
故共有2+1+1+1+2=7
第三類5個偶數2，4，6，8，10，則必有1，3，5，7，9，11此時有1種．
所以共有26+7+1=34種．
故答案為：A

點評：本題主要考查利用集合元素的關系確定集合個數問題，利用分類討論是解決本題的關鍵．