Question

設函數f（x）=

|x+1|+|x-2|+a

．
（1）當a=-5時，求函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）的定義域為R，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由|x+1|+|x-2|-5≥0，然后構造函數y=|x+1|+|x-2|，在同一坐標系內畫出函數y=|x+1|+|x-2|與y=5的圖象得答案；
（2）函數f（x）的定義域為R，說明當x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|+a≥0，即|x+1|+|x-2|≥-a，然后結合絕對值的幾何意義求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題設知：|x+1|+|x-2|-5≥0，
如圖，在同一坐標系中作出函數y=|x+1|+|x-2|
和y=5的圖象（如圖所示），知定義域為（-∞，-2]∪[3，+∞）；

（2）由題設知，當x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|+a≥0，
即|x+1|+|x-2|≥-a，由（1）|x+1|+|x-2|≥3，
∴-a≤3，即a≥-3．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了數形結合的解題思想方法，考查了絕對值的幾何意義，是中檔題．