Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤t對(duì)$?x∈[\frac{1}{e}，e]$成立（其中e為自然對(duì)數(shù)y=lnx的底數(shù)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值以及端點(diǎn)值，從而求出t的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得定義域?yàn)椋?，+∞），
∵$f'（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{（x+1）（x-1）}{x}$…（2分）
令f′（x）=0⇒x=1（x＞0），f′（x）＞0⇒x＞1（x＞0），f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴f（x）的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在$[{\frac{1}{e}，1}]$上遞減，在[1，e]上遞增    …（8分）
∵$f（\frac{1}{e}）=\frac{1}{{2{e^2}}}+1$，$f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-1$，且 $\frac{1}{2}{e^2}-1＞\frac{1}{{2{e^2}}}+1$…（9分）
∴當(dāng)$x∈[{\frac{1}{e}，e}]$時(shí)，${[{f（x）}]_{max}}=f（e）=\frac{1}{2}{e^2}-1$…（10分）
∵f（x）≤t對(duì)$?x∈[{\frac{1}{e}，e}]$成立，∴t≥[f（x）]_max，即$t≥\frac{1}{2}{e^2}-1$，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為$[{\frac{1}{2}{e^2}-1，+∞}）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．