Question

5．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AC=2，AD=2$\sqrt{2}$，點(diǎn)E是線段AB上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段PD、PC上．
（Ⅰ）證明：CD⊥AG；
（Ⅱ）若三棱錐E-BCF的體積為$\frac{1}{6}$，求$\frac{FD}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AB⊥AC，AC⊥CD，PA⊥CD，從而CD⊥平面PAC，由此能證明CD⊥AG．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F到平面ABCD的距離為d，由${V}_{E-BCF}={V}_{F-BEC}=\frac{1}{3}{S}_{△BEC}•d$=$\frac{1}{6}$，能求出d，由此能求出$\frac{FD}{PD}$的值．

解答 證明：（Ⅰ）∵棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA=AB=AC=2，AD=2$\sqrt{2}$，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵AB∥CD，∴AC⊥CD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，
∵AG?平面PAC，∴CD⊥AG．
解：（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F到平面ABCD的距離為d，
${S}_{△BEC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{3}$，
∴由${V}_{E-BCF}={V}_{F-BEC}=\frac{1}{3}{S}_{△BEC}•d$=$\frac{1}{6}$，
解得d=$\frac{3}{4}$，∴$\frac{FD}{PD}=\fracgjmegna{PA}$=$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查兩線段比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．