Question

15．對于?n∈N^*，若數(shù)列{x_n}滿足x_n+1-x_n＞1，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”．
（Ⅰ）已知數(shù)列：1，m+1，m²是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在首項(xiàng)為-1的等差數(shù)列{a_n}為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和S_n滿足${S_n}＜\frac{1}{2}{n^2}-n（n∈{N^*}）$？若存在，求出{a_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列{a_n}是“K數(shù)列”，數(shù)列$\left\{{\frac{1}{2}{a_n}}\right\}$不是“K數(shù)列”，若${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}$，試判斷數(shù)列{b_n}是否為“K數(shù)列”，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得（m+1）-1＞1，m²-（m+1）＞1，聯(lián)立解出即可得出．
（Ⅱ）假設(shè)存在等差數(shù)列{a_n}符合要求，設(shè)公差為d，則d＞1，由題意，得$-n+\frac{n（n-1）}{2}d＜\frac{1}{2}{n^2}-n$對n∈N^*均成立，化為（n-1）d＜n．對n分類討論解出即可得出．
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，由題意可得：{a_n}的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且a_n+1-a_n=a_nq-a_n=a_n（q-1）＞1＞0，可得a₁＞0，且q＞1．由a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1）＞a_n-a_n-1，可得在{a_n-a_n-1}中，“a₂-a₁”為最小項(xiàng)．同理，在$\{\frac{1}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_{n-1}}\}$中，“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”為最小項(xiàng)．再利用“K數(shù)列”，可得a₁=1，q=3或a₁=2，q=2．進(jìn)而得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意得（m+1）-1＞1，①m²-（m+1）＞1，②
解①得 m＞1；
解②得 m＜-1或m＞2．
所以m＞2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞2．
（Ⅱ）假設(shè)存在等差數(shù)列{a_n}符合要求，設(shè)公差為d，則d＞1，
由 a₁=-1，得 ${S_n}=-n+\frac{n（n-1）}{2}d$，．
由題意，得$-n+\frac{n（n-1）}{2}d＜\frac{1}{2}{n^2}-n$對n∈N^*均成立，
即（n-1）d＜n．
①當(dāng)n=1時(shí)，d∈R；
②當(dāng)n＞1時(shí)，$d＜\frac{n}{n-1}$，
因?yàn)?\frac{n}{n-1}=1+\frac{1}{n-1}＞1$，
所以d≤1，與d＞1矛盾，
故這樣的等差數(shù)列{a_n}不存在．
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，
因?yàn)閧a_n}的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且a_n+1-a_n=a_nq-a_n=a_n（q-1）＞1＞0，
所以a₁＞0，且q＞1．
因?yàn)閍_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1）＞a_n-a_n-1，
所以在{a_n-a_n-1}中，“a₂-a₁”為最小項(xiàng)．
同理，在$\{\frac{1}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_{n-1}}\}$中，“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”為最小項(xiàng)．
由{a_n}為“K數(shù)列”，只需a₂-a₁＞1，即 a₁（q-1）＞1，
又因?yàn)?\{\frac{1}{2}{a_n}\}$不是“K數(shù)列”，且“$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}$”為最小項(xiàng)，所以$\frac{1}{2}{a_2}-\frac{1}{2}{a_1}≤1$，即 a₁（q-1）≤2，
由數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，可得 a₁（q-1）=2，
所以a₁=1，q=3或a₁=2，q=2．
①當(dāng)a₁=1，q=3時(shí)，${a_n}={3^{n-1}}$，則${b_n}=\frac{3^n}{n+1}$，
令${c_n}={b_{n+1}}-{b_n}（n∈{N^*}）$，則${c_n}=\frac{{{3^{n+1}}}}{n+2}-\frac{3^n}{n+1}={3^n}•\frac{2n+1}{（n+1）（n+2）}$，
又${3^{n+1}}•\frac{2n+3}{（n+2）（n+3）}-{3^n}•\frac{2n+1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{3^n}{n+2}•\frac{{4{n^2}+8n+6}}{（n+1）（n+3）}＞0$，
所以{c_n}為遞增數(shù)列，即 c_n＞c_n-1＞c_n-2＞…＞c₁，
所以b_n+1-b_n＞b_n-b_n-1＞b_n-1-b_n-2＞…＞b₂-b₁．
因?yàn)?{b_2}-{b_1}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}＞1$，
所以對任意的n∈N^*，都有b_n+1-b_n＞1，
即數(shù)列{c_n}為“K數(shù)列”．
②當(dāng)a₁=2，q=2時(shí)，${a_n}={2^n}$，則${b_n}=\frac{{{2^{n+1}}}}{n+1}$．因?yàn)?{b_2}-{b_1}=\frac{2}{3}≤1$，
所以數(shù)列{b_n}不是“K數(shù)列”．
綜上：當(dāng)${a_n}={3^{n-1}}$時(shí)，數(shù)列{b_n}為“K數(shù)列”，
當(dāng)${a_n}={2^n}$時(shí)，數(shù)列{b_n}不是“K數(shù)列”．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．