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5.設(shè)函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2-3cos2x.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在[0,π2]上的最大值,以及取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)x的值.

分析 (Ⅰ)化函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù),根據(jù)T=2πω求出f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)可求x∈[0,π2]時(shí)sin(2x-π3)的取值范圍,求出x=5π12時(shí)f(x)取得最大值.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2-3cos2x
=sin2x+2sinxcosx+cos2x-3cos2x
=sin2x-3cos2x+1
=2sin(2x-π3)+1,
∴f(x)的最小正周期為T(mén)=2π2=π;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0,π2]時(shí),
2x-π3∈[-π3,2π3],
sin(2x-π3)∈[-32,1];
∴當(dāng)x=5π12時(shí),f(x)=2sin(2×5π12-π3)+1=3取得最大值.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目.

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[40,50),2;[50,60),3;[60,70),14;[70,80),15;[80,90),12;[90,100),4.

(Ⅰ)請(qǐng)把給出的樣本頻率分布表中的空格都填上;

(Ⅱ)估計(jì)成績(jī)?cè)?5分以上學(xué)生的比例;

(Ⅲ)為了幫助成績(jī)差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績(jī),學(xué)校決定成立“二幫一”小組,即從成績(jī)[90,100)中選兩位同學(xué),共同幫助成績(jī)?cè)赱40,50)中的某一位同學(xué).已知甲同學(xué)的成績(jī)?yōu)?2分,乙同學(xué)的成績(jī)?yōu)?5分,求甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率.

樣本頻率分布表

分組

頻數(shù)

頻率

[40,50)

2

0.04

[50,60)

3

0.06

[60,70)

14

0.28

[70,80)

15

0.30

[80,90)

[90,100)

4

0.08

合計(jì)

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