Question

19．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，AB⊥BC，AB=BC=BB₁=2，M，N分別是AB，A₁C的中點．
（1）求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）求證：MN⊥平面A₁B₁C；
（3）求以M，A₁，B₁，C，為頂點的三棱錐的體積．

Answer 1

分析 （1）欲證MN||平面BCC₁B₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理只需證MN與平面BCC₁B₁內(nèi)一直線平行即可，
連接BC₁，AC₁，根據(jù)中位線定理知MN||BC₁，由此證明MN∥平面BCC₁B₁；
（2）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸建立空間直角坐標系，求出平面A₁B₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），根據(jù)法向量$\overrightarrow{n}$∥$\overrightarrow{MN}$可知MN⊥平面A₁B₁C；
（3）MN是三棱錐M-ABC₁的高，底面△ABC₁是直角三角形，由此求出三棱錐的體積．

解答 解：（1）證明：連接BC₁，AC₁，
在△ABC₁中，M，N是AB，A₁C的中點，
∴MN||BC₁；
又MN?平面BCC₁B₁，MN?平面BCC₁B₁，
∴MN||平面BCC₁B₁；
（2）證明：如圖，
以B為原點建立空間直角坐標系B-xyz，
則B（0，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），
M（1，0，0），N（1，1，1），B₁（0，0，2）；
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{{{A}_{1}B}_{1}}$=（-2，0，0），
$\overrightarrow{NM}$=（0，1，1）；
設平面A₁B₁C的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{{A}_{1}B}_{1}}=0}\end{array}\right.$
令z=1，則x=0，y=1，∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）．
∴$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{NM}$，即MN⊥平面A₁B₁C；
（3）由（2）知MN是三棱錐M-ABC₁的高，
在直角△ABC₁中，BC₁=2$\sqrt{2}$，∴MN=$\frac{1}{2}$BC₁=$\sqrt{2}$，
A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，∴A₁B₁⊥B₁C，∴△A₁B₁C是直角三角形；
∴${S}_{{{△A}_{1}B}_{1}C}$=$\frac{1}{2}$A₁B₁•B₁C=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$；
∴三棱錐的體積為
${V}_{三棱錐M{{-A}_{1}B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$${V}_{{{△A}_{1}B}_{1}C}$•MN=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了線面平行和垂直的證明問題，也考查了三棱錐的體積的求法以及空間思維能力和邏輯思維能力的應用問題，是綜合性題目．