Question

【題目】已知動圓與圓相切，且與圓相內切，記圓心的軌跡為曲線；設為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點．

（1）求曲線的方程；

（2）試探究和的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；

（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）根據兩圓相切得圓心距與半徑之間關系：，消去半徑得，符合橢圓定義，由定義可得軌跡方程（2）探究問題，實質是計算問題，即利用坐標求和的比值：根據直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用兩點間距離公式及韋達定理、弦長公式可得和的表達式，兩式相比即得比值（3）因為的面積的面積，所以，利用原點到直線距離得三角形的高，而底為弦長MN（2中已求），可得面積表達式，為一個分式函數，結合變量分離法（整體代換）、基本不等式求最值

試題解析：解：（1）設圓心的坐標為，半徑為，

由于動圓一圓相切，且與圓相內切，所以動圓與圓只能內切

∴

∴圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，

∴

故圓心的軌跡．

（2）設，直線，則直線，

由可得：，∴，

∴

由可得：，

∴，

∴

．

∴

∴和的比值為一個常數，這個常數為．

（3）∵，∴的面積的面積，∴，

∵到直線的距離，

∴．1

令，則，，

∵（當且僅當，即，亦即時取等號）

∴當時，取最大值．1