【題目】已知函數(shù)，其中.

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）若，證明：對任意，總有.

【答案】（I）詳見解析（II）詳見解析

【解析】

試題分析：（I）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點或，根據(jù)兩個零點大小分三種情況討論：若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若時，則在上單調(diào)遞增.若時，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（II）同（1）可得：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，因此將所證不等式變量分離得，構(gòu)造函數(shù)，只需利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)遞減

試題解析：解：（I）∵，，

令，得或

①若，則時，；

時，；

時，，

故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

②若時，則在上單調(diào)遞增

③若時，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（II）由（I）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則有，，于是要證，即證，

即證，

令，

∵，

∵，，

∴在上單調(diào)遞減，即有.

故.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且與相交于兩點．

（1）當(dāng)時，判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)變化時，求弦的中點的普通方程，并說明它是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，分別為橢圓：（）的左、右兩個焦點．

（1）若橢圓上的點到，兩點的距離之和等于，求橢圓的方程和焦點坐標(biāo)；

（2）設(shè)點是（1）中所得橢圓上的動點，，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過點，圓的圓心在圓的內(nèi)部，且直線被圓所截得的弦長為.點為圓上異于的任意一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點.

（1）求圓的方程；

（2）求證: 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若為整數(shù), 且當(dāng)時,, 求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，離心率，且橢圓經(jīng)過點，過橢圓的左焦點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于，兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)線段的垂直平分線與軸交于點，求△的面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，若在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍；

（2）若對任意，且恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知動圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標(biāo)原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點．

（1）求曲線的方程；

（2）試探究和的比值能否為一個常數(shù)？若能，求出這個常數(shù)，若不能，請說明理由；

（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）如是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值并討論的單調(diào)性；

（2）若是函數(shù)的極值點，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍（注：已知常數(shù)滿足）.

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