Question

9．在△ABC中，D是BC邊上一點，BD=3DC，若P是AD邊上一動點，且AD=2，則$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}）$的最小值為-4．

Answer 1

分析 通過向量的數(shù)量積以及向量的表示，化簡數(shù)量積，利用BD=3DC，令$|\overrightarrow{PA}|=t$，轉(zhuǎn)化數(shù)量積為t的二次函數(shù)，然后求解最小值．

解答 解：由于$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}）=\overrightarrow{PA}•[\overrightarrow{PB}+3（\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}）]=\overrightarrow{PA}•[（\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{DC}）+3\overrightarrow{PD}]$，
因為BD=3DC，所以$\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{PD}$，
故$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}）=4\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$，
令$|\overrightarrow{PA}|=t$，
則$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}）$=4•t•（2-t）•cos180°=4[（t-1）²-1]≥-4．
故答案為：-4．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．