Question

14．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB，N是CC₁的中點，M是線段AB₁上的動點（與端點不重合），且AM=λAB₁．
（1）若$λ=\frac{1}{2}$，求證：MN⊥AA₁；
（2）若直線MN與平面ABN所成角的大小為θ，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析 （1）如圖，建立空間直角系，給出相應(yīng)點的坐標，只要證明$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{A_1}}=0$，即可得出MN⊥AA₁．
（2）設(shè)平面ABN的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，利用$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AN}=0\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用$sinθ=|{cos?\overrightarrow{MN}，\overrightarrow n＞}|$=$\frac{|\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{MN}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）證明：如圖，建立空間直角系，則
${B_1}（1，0，2），M（λ，0，2λ），B（1，0，0），N（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1），{A_1}（0，0，2）$．
當$λ=\frac{1}{2}$時，$M（\frac{1}{2}，0，1）$，此時$\overrightarrow{MN}=（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，0，2）$，
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{A_1}}=0$，∴MN⊥AA₁．
（2）解：設(shè)平面ABN的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AN}=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}y+z=0\end{array}\right.$，取$\overrightarrow n=（0，2，\sqrt{3}）$．
而$\overrightarrow{MN}=（\frac{1}{2}-λ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1-2λ）$，
∴$sinθ=|cos＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{{2\sqrt{3}λ}}{{\sqrt{7}•\sqrt{5{λ^2}-5λ+2}}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}•\sqrt{5-5（{\frac{1}{λ}}）+2{{（{\frac{1}{λ}}）}^2}}}}$，
∵0＜λ＜1，∴$\frac{1}{λ}＞1$，
故$sinθ=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}•\sqrt{5-5（{\frac{1}{λ}}）+2{{（{\frac{1}{λ}}）}^2}}}}≤\frac{{4\sqrt{6}}}{{\sqrt{105}}}=\frac{{4\sqrt{630}}}{105}$=$\frac{4\sqrt{70}}{35}$，
當且僅當$\frac{1}{λ}=\frac{5}{4}$，即$λ=\frac{4}{5}$時，等號成立．
∴sinθ的最大值為$\frac{4\sqrt{70}}{35}$．

點評 本題考查了建立空間直角坐標系解決線線垂直、線面垂直、空間角、向量坐標運算及其夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．