Question

【題目】已知函數(shù)．

（）若曲線與直線相切于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（）令，當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間．

（）當(dāng)，證明：當(dāng)， ．

Answer 1

【答案】（）（）單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為（）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)可解得，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）由題意得，又， ，故．從而根據(jù)的符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（3）結(jié)合（2），令，分①和②兩種情況都可證得當(dāng)時(shí)， ．從而可得，即不等式成立。

試題解析：

（）設(shè)點(diǎn)，

由，得，

由題意得，解得，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（）由題意得，

∴，

∵， ，

∴．

由，解得，

由，解得.

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．

（）由（2）得

設(shè)，則，

由，得，

①當(dāng)時(shí)，

則，

∴在單調(diào)遞增，

∴，

②當(dāng)時(shí)，

令，得，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

時(shí)， ， 單調(diào)遞增。

∴，

綜上當(dāng)時(shí)， ．

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

∴當(dāng)極小值，也為最小值，且。

∴在成立．