【題目】已知函數(shù)．

（）若曲線與直線相切于點，求點的坐標．

（）令，當時，求的單調區(qū)間．

（）當，證明：當， ．

【答案】（）（）單調增區(qū)間為單調減區(qū)間為（）見解析

【解析】試題分析：

（1）設點，根據(jù)可解得，從而可得點的坐標．（2）由題意得，又， ，故．從而根據(jù)的符號可得函數(shù)的單調區(qū)間。（3）結合（2），令，分①和②兩種情況都可證得當時， ．從而可得，即不等式成立。

試題解析：

（）設點，

由，得，

由題意得，解得，

∴，

∴點的坐標為．

（）由題意得，

∴，

∵， ，

∴．

由，解得，

由，解得.

∴函數(shù)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為．

（）由（2）得

設，則，

由，得，

①當時，

則，

∴在單調遞增，

∴，

②當時，

令，得，

當時， ， 單調遞減，

時， ， 單調遞增。

∴，

綜上當時， ．

∴在單調遞減，在單調遞增．

∴當極小值，也為最小值，且。

∴在成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；

（Ⅱ）求證：當時，關于的不等式在區(qū)間上無解．（其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）討論的單調性；

（2）當時，若函數(shù)的圖象全部在直線的下方，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“拋階磚”是國外游樂場的典型游戲之一．參與者只需將手上的“金幣”(設“金幣”的半徑為1)拋向離身邊若干距離的階磚平面上，拋出的“金幣”若恰好落在任何一個階磚(邊長為2.1的正方形)的范圍內(不與階磚相連的線重疊)，便可獲大獎.不少人被高額獎金所吸引，紛紛參與此游戲，但很少有人得到獎品，請用所學的概率知識解釋這是為什么．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖.

分組

頻數(shù)

頻率

[10,15)

10

0.25

[15,20)

24

n

[20,25)

m

p

[25,30]

2

0.05

合計

M

1

(1)求出表中M，p及圖中a的值；

(2)若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內的人數(shù)；

(3)估計這次學生參加社區(qū)服務人數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內（含40單）的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：

甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表

送餐單數(shù)

38

39

40

41

42

天數(shù)

10

15

10

10

5

乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表

送餐單數(shù)

38

39

40

41

42

天數(shù)

5

10

10

20

5

（1）現(xiàn)從甲公司記錄的50天中隨機抽取3天，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率；

（2）若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：

①記乙公司送餐員日工資為（單位：元），求的分布列和數(shù)學期望；

②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計學知識為小王作出選擇，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學舉行一次“環(huán)保知識競賽”，全校學生參加了這次競賽．為了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為分）作為樣本進行統(tǒng)計，請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：

（Ⅰ）寫出， ， ， 的值．

（Ⅱ）在選取的樣本中，從競賽成績是分以上（含分）的同學中隨機抽取名同學到廣場參加環(huán)保知識的志愿宣傳活動，求所抽取的名同學來自同一組的概率．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設表示所抽取的名同學中來自第組的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學期望．

組別

分組

頻數(shù)

頻率

第組

第組

第組

第組

第組

合計

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）已知函數(shù)的最小值為，若實數(shù)且，求的

最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)的零點個數(shù)．

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