Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點G在橢圓C上，且∠F₁GF₂=60°，△GF₁F₂的面積為

3

．
（1）求橢圓C的方程：
（2）設橢圓的左、右頂點為A，B，過F₂的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N（不同于點A，B），探索直線AM，BN的交點能否在一條垂直于x軸的定直線上，若能，求出這條定直線的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出e=

c

a

=

1

2

，b²tan30°=

3

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由（1）知A（-2，0），B（2，0），當直線l的斜率不存在時，直線l：x=1，求出線AM，BN的交點在直線x=4上；當直線l的斜率存在時，設直線l：y=k（x-1），代入橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k）x²-8k²x+4（k²-3）=0，利用韋達定理結合已知條件推導出直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

解答： 解：（1）設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∵e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，b=

3

c，
∵左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點G在橢圓C上，
且∠F₁GF₂=60°，△GF₁F₂的面積為

3

．
∴b²tan30°=

3

，解得b=

3

，
解得c=1，∴a=2，b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）知A（-2，0），B（2，0），
①當直線l的斜率不存在時，直線l：x=1，
直線l與橢圓C的交點坐標M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），
此時直線AM：y=

1

2

（x+2），BN：y=

3

2

（x-2），
聯(lián)立兩直線方程，解得兩直線的交點坐標（4，3），
它在直線x=4上．
②當直線l的斜率存在時，
設直線l：y=k（x-1），代入橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1，
整理，得（3+4k）x²-8k²x+4（k²-3）=0，
設直線l與橢圓C交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4(k2-3)

3+4k2

，
直線AM的方程為y=

y1

x1+2

(x+2)，即y=

k(x1-1)

x1+2

(x+2)，
直線BN的方程為y=

y2

x2-2

(x-2)，即y=

k(x2-1)

x1-2

(x-2)，
由直線AM與直線BN的方程消去y，得
x=

2(2x1x2-3x1+x2)

x1+3x2-4

=

2[2x1x2-3(x1+x2)+4x2]

(x1+x2)+2x1-4

=

2[ 8(k2-3) 3+4k2 - 24k2 3+4k2 +4x2]

8k2 3+4k2 -4+2x1

=

4(- 4k2+6 3+4k2 +x2)

- 4k2+6 3+4k2 +x2

=4，
∴直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．
綜上所述，直線AM，BN的交點必在一條垂直于x軸的定直線上，
這條直線的方程是x=4．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．