Question

如圖1，游樂場中的摩天輪勻速旋轉，其最低點離地面5米，如果以你從最低點登上摩天輪的時刻開始計時，那么你與地面的距離y（m）隨時間x（min）變化的關系將如圖2所示（該圖象近似于y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，-π≤φ≤0）的圖象）．

（Ⅰ）求出y（m）和x（min）的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）當你第三次距離地面65米時，用了多少時間？
（Ⅲ）當你登上摩天輪4分鐘后，你的朋友也在最低點登上摩天輪，請直接寫出你登上摩天輪多少分鐘后，第一次與你的朋友處在同一高度？

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）根據(jù)最大值和最小值求出A和b，根據(jù)特殊點的坐標求φ，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）令y=65，求得cos

π

12

x=-

1

2

，令

π

12

x分別取

2π

3

、

4π

3

、2π+

2π

3

，求得三個最小的正實數(shù)x的值，從而得出結論．
（Ⅲ）當你登上摩天輪4分鐘后，求出你和你的朋友的高度．設t分鐘后，第一次與你的朋友處在同一高度，則有-40cos

π

12

t+45=-40cos

π

12

（4+t）+45，由此求得正實數(shù)t的最小值，即為所求．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得A=

85-5

2

=40，b=

85+5

2

=45，根據(jù)函數(shù)的周期為

2π

ω

=2×12=24，可得ω=

π

12

．
故函數(shù)的解析式為 y=40sin（

π

12

x+φ）+45．
再把點（0，5）代入可得 sinφ=-1，結合-π≤φ≤0，可得 φ=-

π

2

，
∴y=40sin（

π

12

x-

π

2

）+45=-40sin（

π

2

-

π

12

x）+45=-40cos

π

12

x+45．
（Ⅱ）在函數(shù)y=-40cos

π

12

x+45 中，令y=65，求得cos

π

12

x=-

1

2

，
令

π

12

x分別取

2π

3

、

4π

3

、2π+

2π

3

，
求得三個最小的正實數(shù)x的值分別為8、16、32，
故當你第三次距離地面65米時，用了32（min）．
（Ⅲ）由題意可得，當你登上摩天輪4分鐘后，你的高度為-40cos（

π

12

×4）+45=25（m），
你的朋友的高度為5m．
設t分鐘后，第一次與你的朋友處在同一高度，則有-40cos

π

12

t+45=-40cos

π

12

（4+t）+45，
即 cos

π

12

t=cos

π

12

（4+t），∴t的最小正值為10（min）．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質，屬于基礎題．