Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為T(mén)n= n2﹣ n，且an+2+3log4bn=0（n∈N*）
（1）求{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{cn}滿足cn=anbn ， 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）若cn≤ m2+m﹣1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Tn= n2﹣ n，易得an=3n﹣2代入到an+2+3log4bn=0（n∈N*）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)bn= （n∈N*），
（2）解：cn=anbn= ，∴ ∴

兩式相減整理得

（3）解：cn=anbn=（3n﹣2） ∴cn+1﹣cn=（3n+1） ﹣（3n﹣2） =9（1﹣n） （n∈N*），

∴當(dāng)n=1時(shí)，c2=c1= ，

當(dāng)n≥2時(shí)，cn+1＜cn，即c1=c2＞c3＞…＞cn，

∴當(dāng)n=1時(shí)，cn取最大值是 ，又cn≤ m2+m﹣1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立∴ m2+m﹣1≥ ，即m2+4m﹣5≥0，

解得：m≥1或m≤﹣5．

【解析】（1）由Tn= n2﹣ n，先求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；代入到an+2+3log4bn=0（n∈N*）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求出{bn}的通項(xiàng)公式；（2）把第一問(wèn)求出的兩數(shù)列的通項(xiàng)公式代入cn=anbn中，確定出cn的通項(xiàng)公式，從而求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）表示出cn+1﹣cn ， 判斷得到其差小于0，故數(shù)列{cn}為遞減數(shù)列，令n=1求出數(shù)列{cn}的最大值，然后原不等式的右邊大于等于求出的最大值，列出關(guān)于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即為實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．