【題目】一緝私艇發(fā)現(xiàn)在方位角45°方向,距離12海里的海面上有一走私船正以10海里/小時的速度沿方位角為105°方向逃竄,若緝私艇的速度為14海里/小時,緝私艇沿方位角45°+α的方向追去,若要在最短的時間內(nèi)追上該走私船,求追擊所需時間和α角的正弦.(注:方位角是指正北方向按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,設(shè)緝私艇與走私船原來的位置分別為A、C,在B處兩船相遇).
【答案】解:由條件知∠ACB=120°,AC=12海里,
設(shè)緝私船t小時后追上該走私船,可得BC=10t,AB=14t,
∴由正弦定理 = 得: = ,
∴sinα= ,
由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos∠ACB得:(14t)2=122+(10t)2﹣240tcos120°,
解得:t=2或t=﹣ (舍),
∴t=2小時,sinα= .
【解析】緝私艇與走私船原來的位置分別為A、C,在B處兩船相遇,由條件得到∠ACB=120°,AC=12海里,設(shè)緝私船t小時后追上該走私船,根據(jù)各自的速度表示出BC與AB,由∠ACB=120°,∠CAB=α,利用正弦定理列出關(guān)系式,求出sinα的值;由余弦定理列出關(guān)于t的方程,求出方程的解即可得到t的值.
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義,掌握正弦定理:即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次愛心捐款活動中,小李為了了解捐款數(shù)額是否和居民自身的經(jīng)濟收入有關(guān),隨機調(diào)査了某地區(qū)的個捐款居民每月平均的經(jīng)濟收入. 在捐款超過元的居民中,每月平均的經(jīng)濟收入沒有達到元的有個,達到元的有個;在捐款不超過元的居民中,每月平均的經(jīng)濟收入沒有達到元的有個.
(1)在下圖表格空白處填寫正確數(shù)字,并說明是否有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否超過元和居民毎月平均的經(jīng)濟收入是否達到元有關(guān)?
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率. 現(xiàn)在從該地區(qū)大量居民中,采用隨機抽樣方法毎次抽取個居民,共抽取次,記被抽取的個居民中經(jīng)濟收入達到元的人數(shù)為,求和期望的值.
每月平均經(jīng)濟收入達到元 | 每月平均經(jīng)濟收入沒有達到元 | 合計 | |
捐款超過元 | |||
捐款不超過元 | |||
合計 |
附: ,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同教學(xué)方式對入學(xué)數(shù)學(xué)平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班(人數(shù)均為20人)進行教學(xué)(兩班的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)勤奮程度和自覺性一致),數(shù)學(xué)期終考試成績莖葉圖如下:
(1)學(xué)校規(guī)定:成績不低于75分的為優(yōu)秀,請?zhí)顚懴旅娴?/span>聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.
附:參考公式及數(shù)據(jù)
(2)從兩個班數(shù)學(xué)成績不低于90分的同學(xué)中隨機抽取3名,設(shè)為抽取成績不低于95分同學(xué)人數(shù),求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年的4月23日為世界讀書日,為調(diào)查某高校學(xué)生(學(xué)生很多)的讀書情況,隨機抽取了男生,女生各20人組成的一個樣本,對他們的年閱讀量(單位:本)進行了統(tǒng)計,分析得到了男生年閱讀量的頻數(shù)分布表和女生年閱讀量的頻率分布直方圖.
男生年閱讀量的頻數(shù)分布表(年閱讀量均在區(qū)間內(nèi))
(Ⅰ)根據(jù)女生年閱讀量的頻率分布直方圖估計該校女生年閱讀量的中位數(shù);
(Ⅱ)若年不小于40本為閱讀豐富,否則為閱讀不豐富,依據(jù)上述樣本研究年閱讀量與性別的關(guān)系,完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為閱讀豐富與性別有關(guān);
(Ⅲ)在樣本中,從年閱讀量在的學(xué)生中,隨機抽取2人參加全市的征文比賽,記這2人中男生人數(shù)為,求的分布列和期望.
附: ,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)站針對2015年中國好聲音歌手A,B,C三人進行網(wǎng)上投票,結(jié)果如下
觀眾年齡 | 支持A | 支持B | 支持C |
20歲以下 | 100 | 200 | 600 |
20歲以上(含20歲) | 100 | 100 | 400 |
(1)在所有參與該活動的人中,用分層抽樣的方法抽取n人,其中有6人支持A,求n的值.
(2)在支持C的人中,用分層抽樣的方法抽取5人作為一個總體,從這5人中任意選取2人,求恰有1人在20歲以下的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,扇形AOB,圓心角AOB等于60°,半徑為2,在弧AB上有一動點P,過P引平行于OB的直線和OA交于點C,設(shè)∠AOP=θ,當(dāng)△POC面積的最大值時θ的值為___________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Tn= n2﹣ n,且an+2+3log4bn=0(n∈N*)
(1)求{bn}的通項公式;
(2)數(shù)列{cn}滿足cn=anbn , 求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)若cn≤ m2+m﹣1對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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