Question

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：

（1）求這500件產(chǎn)品質量指標值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù) ，σ2近似為樣本方差s2 ．
（i）利用該正態(tài)分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質量指標值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結果，求EX．
附： ≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抽取產(chǎn)品的質量指標值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2分別為：

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，

s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．

（2）

解：（i）由（1）知Z～N（200，150），從而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；

（ii）由（i）知一件產(chǎn)品的質量指標值位于區(qū)間（187.8，212.2）的概率為0.6826，

依題意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26

【解析】（1）運用離散型隨機變量的期望和方差公式，即可求出；（2）（i）由（1）知Z～N（200，150），從而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意運用所給數(shù)據(jù)；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），運用EX=np即可求得．