Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)時(shí)，如果對任何都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，將函數(shù)的圖像沿軸方向平移，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，設(shè)函數(shù)的最大值為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）最小值為1.

【解析】

（1）解真數(shù)大于0的不等式即可；

（2）通過分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，進(jìn)而求得a的取值范圍；

（3）先設(shè)出平移t個(gè)單位，再根據(jù)g（x）為偶函數(shù)得，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得h（a），最后由基本不等式求得h（a）的最小值。

（1）a=-1時(shí)，f（x）=log2（ax2+2x-a）=log2（-x2+2x+1），

解-x2+2x+1＞0得

所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

（2） 當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≥1即log2（ax2+2x-a）≥1，

即ax2+2x-a-2≥0對任何x∈[2，3]都成立，

則

令，因?yàn)楫?dāng)x∈[2，3]時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)

所以

所以，又因?yàn)?/span>

所以a的取值范圍為

（3）當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)將f（x）的圖象沿x軸方向平移t個(gè)單位得到g（x）的圖象，

則g（x）=[a（x+t）2+2（x+t）-a]=[ax2+（2at+2）x+at2+2t-a]，

因?yàn)?/span>g（x）為偶函數(shù)，所以g（-x）=g（x），

則[ax2-（2at+2）x+at2+2t-a]=[ax2+（2at+2）x+at2+2t-a]，

所以2at+2=0，所以

所以

因?yàn)?/span>a＜0所以x=0時(shí)，

因?yàn)?/span>此時(shí)，解得

所以

即的最小值為1