Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，若f（1）=0，則不等式f[x（x-

1

2

）]＜0的解集為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質結合函數(shù)的圖象，解不等式即可得到結論．

解答： 解：∵y=f（x）是奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴在（-∞，0）上是增函數(shù)，
若f（1）=0，則f（-1）=-f（1）=0，
則函數(shù)f（x）的草圖如圖：（直線只代表單調性）
則不等式f[x（x-

1

2

）]＜0等價為0＜x（x-

1

2

）＜1   ①
或x（x-

1

2

）＜-1，②
由①得

x＞ 1 2 或x＜0 2x2-x-2＜0

即

x＞ 1 2 或x＜0 1- 7 2 ＜x＜ 1+ 7 2

，
即

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

，
由②得

x(x- 1 2 )＜0 x(x- 1 2 )＜-1

，即

0＜x＜ 1 2 2x2-x+2＜0

，此時不等式無解．
綜上

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

，
即不等式的解集為{x|

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

}，
故答案為：{x|

1- 7

2

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 7

2

}．

點評：本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調性的性質作出函數(shù)的簡圖是解決本題的關鍵．