Question

已知集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|ax²+bx+c≤0，a，b，c∈R，ac≠0}，若A∩B=（3，4]，A∪B=R，則

b2

a

+

a

c2

的最小值是

 

．

Answer 1

考點：并集及其運算

專題：不等式的解法及應(yīng)用,集合

分析：求出不等式的解，根據(jù)集合關(guān)系求出a，b，c的值，利用基本不等式進行求解即可．

解答： 解：A={x|x²-2x-3＞0}={x|x＞3或x＜-1}，
∵A∩B=（3，4]，A∪B=R，
∴-1，4是方程ax²+bx+c=0的兩個根，且a＞0，
則-1+4=-

b

a

=-3，即b=3a，
-1×4=

c

a

=-4，即c=-4a，
則

b2

a

+

a

c2

=

9a2

a

+

a

16a2

=9a+

1

16a

≥2

9a• 1 16a

=

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)9a=

1

16a

，即a=

1

12

時，取等號，
故最小值為

3

2

，
故答案為：

3

2

．

點評：本題主要考查集合的基本運算，根與系數(shù)的關(guān)系以及基本不等式的應(yīng)用，根據(jù)條件求出a，b，c的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．