Question

【題目】如圖所示的多面體中， 菱形， 是矩形， ⊥平面 ， ， .

（Ⅰ）異面直線 與 所成的角余弦值；
（Ⅱ）求證平面 ⊥平面 ；
（Ⅲ）在線段 取一點 ，當二面角 的大小為60°時，求 .

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為 ，所以 就是異面直線 與 所成的角，連接 ，

在 中， ，于是 ，所以異面直線 與 所成的角余弦值為 .

（Ⅱ）取 的中點 .由于 面 ， ，

∴ ，又 是菱形，

是矩形，所以， 是全等三角形，

，所以 ， 就是二面角 的平面角經計算 ，所以 ，即 .

所以平面 平面 .

（Ⅲ）建立如圖的直角坐標系，由 ，則

.

平面 的法向量 .

設 ，則

設平面 的法向量 ，則 得

，令 ，則 ，得 .

因為二面角 的大小為60°，

所以 ，

整理得 ，解得

所以 .

【解析】(1)由已知A B / / D C可知 ∠ B A E 就是異面直線 A E 與 D C 所成的角，因此能求出異面直線 A E 與 D C 所成的角，根據題中的已知條件利用余弦定理求出即可。(2)由已知作出輔助線，可推導出∠ A M C 就是二面角 A E F C 的平面角，借助已知的邊的關系由勾股定理可得證A M ⊥ M C ，再根據面面垂直的判定定理即可得證。(3)根據題意建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標，設出平面CEF和平面NEF的法向量，由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量，再利用向量的數量積運算公式結合二面角 N E F C 的大小為60°得到關于λ的方程求出其值結合兩點間的距離公式即可求出結果。

【考點精析】關于本題考查的點到直線的距離公式和平面與平面垂直的判定，需要了解點到直線的距離為：；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．