【題目】如圖所示的多面體中, 菱形, 是矩形, ⊥平面 , .

(Ⅰ)異面直線 所成的角余弦值;
(Ⅱ)求證平面 ⊥平面 ;
(Ⅲ)在線段 取一點 ,當二面角 的大小為60°時,求 .

【答案】解:(Ⅰ)因為 ,所以 就是異面直線 所成的角,連接 ,

中, ,于是 ,所以異面直線 所成的角余弦值為 .

(Ⅱ)取 的中點 .由于 , ,

,又 是菱形,

是矩形,所以, 是全等三角形,

,所以 , 就是二面角 的平面角經(jīng)計算 ,所以 ,即 .

所以平面 平面 .

(Ⅲ)建立如圖的直角坐標系,由 ,則

.

平面 的法向量 .

設(shè) ,則

設(shè)平面 的法向量 ,則

,令 ,則 ,得 .

因為二面角 的大小為60°,

所以

整理得 ,解得

所以 .


【解析】(1)由已知A B / / D C可知 ∠ B A E 就是異面直線 A E 與 D C 所成的角,因此能求出異面直線 A E 與 D C 所成的角,根據(jù)題中的已知條件利用余弦定理求出即可。(2)由已知作出輔助線,可推導出∠ A M C 就是二面角 A E F C 的平面角,借助已知的邊的關(guān)系由勾股定理可得證A M ⊥ M C ,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證。(3)根據(jù)題意建立空間直角坐標系,求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標,設(shè)出平面CEF和平面NEF的法向量,由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量,再利用向量的數(shù)量積運算公式結(jié)合二面角 N E F C 的大小為60°得到關(guān)于λ的方程求出其值結(jié)合兩點間的距離公式即可求出結(jié)果。

【考點精析】關(guān)于本題考查的點到直線的距離公式和平面與平面垂直的判定,需要了解點到直線的距離為:;一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直才能得出正確答案.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知曲線 的參數(shù)方程 ( 為參數(shù)),曲線 的極坐標方程為 .
(1)將曲線 的參數(shù)方程化為普通方程,將曲線 的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)試問曲線 , 是否相交?若相交,請求出公共弦的長;若不相交,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知隨機變量 的取值為不大于 的非負整數(shù)值,它的分布列為:

0

1

2

n

其中 )滿足: ,且
定義由 生成的函數(shù) ,令
(I)若由 生成的函數(shù) ,求 的值;
(II)求證:隨機變量 的數(shù)學期望 , 的方差 ;

(Ⅲ)現(xiàn)投擲一枚骰子兩次,隨機變量 表示兩次擲出的點數(shù)之和,此時由 生成的函數(shù)記為 ,求 的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè) 是兩個平面, 是兩條直線,有下列四個命題:
⑴如果 ,那么 .
⑵如果 ,那么 .
⑶如果 ,那么 .
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ2(1+3sin2θ)=4,曲線C2 (θ為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線C1的直角坐標方程和C2的普通方程;
(Ⅱ)極坐標系中兩點A(ρ1 , θ0),B(ρ2 , θ0+ )都在曲線C1上,求 + 的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當x≥0時,f(x)= ,則關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零點之和為(
A.3a﹣1
B.1﹣3a
C.3a﹣1
D.1﹣3a

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調(diào)整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準 (噸),一位居民的月用水量不超過 的部分按平價收費,超出 的部分按議價收費,為了了解居民用水情況,通過抽祥,獲得了某年100位居民毎人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照 分成 組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求直方圖中a的值;
(2)若該市有110萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于 噸的人數(shù),并說明理由;
(3)若該市政府希望使80%的居民每月的用水量不超過標準 (噸),估計x的值(精確到0.01),并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知兩點A(-2,0),B(0,1),點P是圓(x-1)2+y2=1上任意一點,則△PAB面積的最大值是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若a和b是計算機在區(qū)間(0,3)上產(chǎn)生的隨機數(shù),那么函數(shù)f(x)=lg(ax2+4x+4b) 的值域為R的概率為

查看答案和解析>>

同步練習冊答案