Question

一次研究性課堂上，老師給出函數f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，三位同學甲、乙、丙在研究此函數時分別給出命題：
①函數f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)；
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③若規(guī)定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))， 則 fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．
你認為上述三個命題中正確的是

 

．

Answer 1

分析：命題①先求出在x＞0時的函數值域，根據奇函數的性質，進一步求的函數在給定定義域內的值域；命題②判斷函數在定義域內是單調函數；命題③若fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立，則fn-1(x)

x

1+(n-1)|x|

，驗證是否有f_n（x）=f（f_n-1（x））成立．

解答：解：∵f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x），∴f（x）是R上的奇函數，∴f（0）=0，當x＞0時，
f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

=

1

1+ 1 x

，∵x＞0，∴

1

x

＞0，∴1+

1

x

＞1，∴

1

1+ 1 x

＜1，又x＞0，∴0＜f（x）＜1，
又函數f（x）是奇函數，所以x＜0，-1＜f（x）＜0，所以∈x（-1，1），故命題①不正確．
設x₁＞x₂＞0，則 f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+|x1|

-

x2

1+|x2|

=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

，
∵x₁＞x₂＞0∴

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

＞0，所以f（x）在（0，+∞）上為增函數，因為f（x）為奇函數，所以f（x）在
（-∞，+∞）上位增函數，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），故命題②正確．
由f₂（x）=f（f₁（x））=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x 1+\x|

1+ |x| 1+|x|

=

x

1+2|x|

．
f(fn-1(x))=

x 1+(n-1)|x|

1+| x 1+(n-1)|x| |

=

x 1+(n-1)|x|

1+ |x| 1+(n-1)|x|

=

x

1+n|x|

．
fn(x)=

x

1+n|x|

．
所以f_n（x）=f（f_n-1（x）），所以fn(x)=

x

1+n|x|

對任n∈N^*恒成立．
故答案為②③．

點評：前兩個命題考查函數的基本性質，屬于基本問題，第三個命題的判斷具有開放性，特別是用f_n-1（x）代換f_n（x）中的x易出錯，屬于中難度問題．